| Kommentar |
Das Studium von Symmetrien gehört zu den ältesten Aufgaben der Mathematik und Lie-Algebren stellen eine Möglichkeit dar, viele der in der Mathematik, Physik oder anderen Naturwissenschaften auftretenden Symmetrien zu beschreiben. So lassen sich viele der fundamentalen Gesetze der Quantenmechanik mit Hilfe der Lie-Algebra-Struktur der selbstadjungierten Operatoren auf einem Hilbert-Raum formulieren und untersuchen. Während die Theorie hauptsächlich mit algebraischen Hilfsmitteln arbeitet, so hat sie doch weitreichende Anwendungen z.B. in der Differentialgeometrie oder Algebraischen Geometrie.
Ein einfaches Beispiel einer Lie-Algebra ist die Menge der (nxn)-Matrizen über einem Körper k, versehen mit der sogenannten "Lie-Klammer" [A,B] = AB -BA. Ein weiteres Beispiel ist die Menge der schief-symmetrischen Matrizen (mit der gleichen Lie-Klammer).
Im Seminar werden wir uns mit der Strukturtheorie von endlich-dimensionalen Lie-Algebren beschäftigen. Hierzu benötigt man hauptsächlich solide Kenntnisse aus der Linearen Algebra sowie Grundkenntnisse in Algebra. Begleitet wird die allgemeine Theorie von einer Reihe von klassischen Beispielen, wie sie in der Linearen Algebra, aber auch der Euklidischen, Hermiteschen oder Symplektischen Geometrie auftreten.
Literatur
- Karin Erdmann, Mark Wildon: Introduction to Lie Algebras, Springer Undergraduate Mathematics Series
- William Fulton, Joe Harris: Representation Theory, A First Course, Springer Graduate Texts in Mathematics
- James Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Graduate Texts in Mathematics
- Anthony Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, Birkhäuser
- Wolfgang Soergel: Lie-Algebren und ihre Darstellungen, Vorlesungsskript, elektronisch verfügbar
Voraussetzungen
Lineare Algebra I+II, Grundkenntnisse in Algebra |
