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Inhalte:
Einführungsthemen A und B
A. Mengen, Funktionen, Zahlen
- Mengen: Was ist eine Menge, Objekt, Zugehörigkeit, endliche und unendliche Mengen, leere Menge, Teilmenge, Inklusion, Potenzmenge, Vereinigung, Durchschnitt, Differenz, Komplement, logische Pfeile, Partition, Relation, Äquivalenzrelation, kartesisches Produkt.
- Funktionen: Was ist eine Funktion (Abbildung), Definitionsmenge (Definitionsbereich), Zielmenge (Wertebereich), Bild, Urbild, verschiedene Möglichkeiten Funktionen anzugeben, injektiv, surjektiv, bijektiv, Einschränkung, Umkehrfunktion, Zusammensetzung (Komposition) von Funktionen, Beispiele von Funktionen: Folgen, Polynome, rationale Funktionen, usw.
- Zahlen: Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen, Existenz von nicht rationalen Zahlen, gleichmächtig, Mächtigkeit, abzählbar, Peano, Induktionsprinzip, die Beweismethode durch vollständige Induktion, Summen von Potenzen natürlicher Zahlen, Rekursive Definitionen, Wahlordnungsprinzip
B. Kombinatorik
Abzähltheorem, geordnete und nicht geordnete Mengen, Permutationen, Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge, Anzahl der k-elementigen geordneten und nicht geordneten Teilmengen sowie der k-Tupel einer n-elementigen Menge, die Anzahl der Möglichkeiten n Objekte in k-Kasten vollständig zu verteilen, so dass die Anzahl der Objekte pro Kasten vorgegeben ist, binomischer Satz, ist die Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer n-elementigen Menge, konkrete Beispiele (Skat, Toto, Lotto, Telefonanschlüsse).
Thema 1: Grundkenntnisse aus der Finanzmathematik
Einfache Verzinsung, Verzinsung mit Zinseszinsen, effektiver Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung, Rentenrechnung, Nachschüssige und vorschüssige Renten, Tilgung durch konstante Annuitäten, Effektivverzinsung einer Annuitätenschuld, Rechenbeispiele zu diesen Themen.
Thema 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsexperimente mit Beispielen erläutert, Elementarereignisse und Ergebnismenge von Zufallsexperimenten, endliche und abzählbare Ergebnismengen, Ereignisse, Eintreten eines Ereignisses, unmögliches und sicheres Ereignis, Ereignisraum, Operationen (Verknüpfungen) von Ereignissen, Laplace-Experiment, Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments, relative Häufigkeit von Zufallsexperimenten und deren Eigenschaften, Wahrscheinlichkeitsaxinome von Kolmogoro und Folgerungen daraus, Wahrscheinlichkeitsraum, Additionssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit, Multiplikationssatz, stochastische Unabhängigkeit, Ereignisbäume und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten mit Hilfe des zugehörigen Ereignisbaums, totale Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes, Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Mittelwert, Varianz- und Standardabweichung, Beispiele, geometrische Wahrscheinlichkeiten.
Lernziele:
Nach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung können Studierende Fragen der Finanzmathematik und Wahrscheinlichkeitsrechnung soweit verstehen, dass sie im Umgang mit täglichen Problemen der Bank- und Finanzwirtschaft sowie der demographischen, sozialen und politischen Daten und statistischen Erhebungen eine Orientierung und eine vernünftige Antwort finden können. Dabei gewinnen sie Grundkenntnisse, die es ihnen erlauben, zu einem späteren Zeitpunkt Vertiefungskurse und Vorlesungen erfolgreich zu besuchen.
Zur Durchführung: Durch einen behutsamen Einstieg von einem Niveau, das nur allgemeine Kenntnisse etwa aus den Abi-Grundkursen in Mathematik voraussetzt, durch notwendige Wiederholungen von Kenntnissen, die sich im Rahmen der Vorbesprechungen als nützlich herausstellen werden, unter Verwendung einfacher Beispiele aus dem Leben und offene, konstruktive Diskussionen sollen gewachsene Vorurteile über die "trockene" Mathematik beseitigt werden. Hiermit werden Voraussetzungen geschaffen, die zu einer positiven Einstellung der Studierenden und letztlich zu einer sinnvollen Teilnahme an der Veranstaltung führen. |
