Die Funktionalanalysis befasst sich mit der Theorie der unendlich-dimensionalen normierten Vektorräume und der stetigen linearen Abbildungen zwischen ihnen. Funktionalanalytische Methoden finden weite Anwendungen etwa in der Analysis, der numerischen Mathematik oder der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Theorie der Differentialgleichungen wird eine gesuchte Funktion als Element eines geeigneten normierten Raums aufgefasst, und man hat dann eine Gleichung Ax=b zu lösen, wobei A eine (im "einfachsten" Fall lineare) Abbildung eines normierten Raums in einen anderen beschreibt.
In dieser ersten Veranstaltung lernen Sie Banachräume kennen, insbesondere solche mit Funktionen als Elementen, z.B. die Lebesgue- und Sobolevräume. Im weiteren Verlauf studieren wir insbesondere lineare Abbildungen zwischen Funktionenräumen und untersuchen, inwieweit sich die für Abbildungen auf dem euklidischen Raum R^n bekannten Konzepte und Resultate der linearen Algebra und Analysis auf Abbildungen zwischen Funktionenräumen übertragen lassen. Der Begriff der Kompaktheit wird eine zentrale Rolle spielen.
Die Vorlesung endet mit einem Ausblick auf die nichtlineare Funktionalanalysis, die dem Studium nichtlinearer Abbildungen zwischen Funktionenräumen gewidmet ist. |
