| Kommentar |
Dieses Aufbaumodul gibt eine Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren anhand von Matrizengruppen. Hierbei werden sowohl geometrische wie auch algebraische Aspekte betrachtet. Lie-Gruppen (und Ihre "Verwandten", die algebraischen Gruppen) spielen in vielen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle, wie zum Beispiel der Riemannschen Geometrie oder Differentialgeometrie, der Mechanik, aber auch der Algebraischen Geometrie.
Ziel der Veranstaltung ist es insbesondere, die Symmetriegruppen der Linearen Algebra, also zum Beispiel die Gruppe SO(3) der Drehungen des Anschaungsraumes oder die spezielle lineare Gruppe SL(n), d.h. die Gruppe der invertierbaren (n x n)-Matrizen mit Determinante 1, mit Hilfsmitteln der Analysis II als eigenständige geometrische Objekte kennenzulernen. Hierbei werden die Hauptsätze der Linearen Algebra in neuem Licht erscheinen. Ein besonderer Fokus wird auf für die analytische Geometrie wichtigen Gruppen liegen; die Vorlesung richtet sich daher insbesondere an Studierende im Master Lehramt. Außerdem werden wir den in der Mathematik wichtigen Begriff der Linearisierung am Beispiel der sogenannten Lie-Korrespondenz zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren ausführlich kennenlernen und eine Reihe von Parameterräumen für geometrische Objekte wie projektive Räume (jedem Punkt in einem solchen Raum entspricht eine Ursprungsgerade in einem Vektorraum) oder allgemeiner Grassmannsche Mannigfaltigkeiten diskutieren.
Es wird eine Auswahl der folgenden sowie ggfs. weitere Themen behandelt:
* die klassischen Gruppen
* die Exponentialabbildung für Matrizen
* Lie-Algebren
* elementare Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und -Algebren
* die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel und ihre Konsequenzen
* differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder
* Einparameter-Untergruppen
* Gruppenwirkungen
* Homogene Räume
Literatur:
- Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations - An elementary introduction, Springer Graduate Texts in Mathematics
- Hilgert-Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg
- Kühnel: Matrizen und Liegruppen, Vieweg
- Tapp: Matrix groups for Undergraduates, AMS Publishing
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| Bemerkung |
Es gibt einen moodle-Kursraum für diese Vorlesung, siehe
https://moodle.uni-due.de/course/view.php?id=44480
Dort können Sie sich einschreiben, wenn Sie den Vornamen des folgenden Mathematikers als Einschreibeschlüssel eingeben:
https://plato.stanford.edu/ENTRIES/weyl/
Bitte melden Sie sich zeitnah an, da es im moodle Kursraum Informationen zum Termin der ersten Vorlesung gibt. |
