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Wir möchten eine Brücke zwischen Topologie, der Lehre der Formen, und algebraischen Strukturen schlagen. Eine grundlegende Idee ist, einem Objekt eine oder mehrere "Invarianten” zuzuordnen. Dies ermöglicht unter anderem, diese Objekte bis auf stetige Verformung zu klassifizieren, so ist beispielhaft eine Kaffeetasse in einen Donut, nicht aber einen Ball verformbar. Die dabei entwickelten Begriffe und Methoden gehen jedoch weit darüber hinaus und finden sich etwa in der Differentialgeometrie, der algebraischen Geometrie und sogar der Zahlentheorie wieder.
Das für uns wichtigste Beispiel einer Invariante wird die Fundamentalgruppe π1(X,x) eines Raumes X und eines Punktes x∈ X sein. Diese besteht aus innerhalb X verlaufenden Rundwegen von x nach x, wobei zwei Rundwege als gleich angesehen werden, wenn sie stetig ineinander verformt werden können. Interessanterweise kann man zwei beliebige solche Rundwege verknüpfen, indem man erst denn einen, dann den anderen durchläuft, was π1(X,x) zu einer Gruppe macht. Wir werden uns eingehender mit den Eigenschaften dieser Fundamentalgruppe befassen, wie etwa dem Verhalten unter Deformationen, stetigen Abbildungen und diversen Operationen topologischer Räume. Unterwegs mˆchten wir einen kurzen Abstecher in die Kategorientheorie wagen. Abschlieflend wollen wir noch einige weitere Invarianten kurz kennenlernen, zum Beispiel die singuläre Homologe Hn(X).
Diese Vorlesung richtet sich an Studenten ab dem dritten Semester und kann auf Wunsch auf Englisch abgehalten werden. Die relevanten topologischen Grundbegriffe sollen ausführlich eingeführt werden, nur Grundlagen aus den Vorlesungen Lineare Algebra I und Analysis I werden benötigt.
Termine:
Vorlesung: Montags und Mittwochs von 14-16 Uhr
Übungen: Freitags von 10-12 Uhr
Dozenten:
Dr. Tom Bachmann und Dr. Daniel Harrer |
