Kommentar |
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Während man in der "Funktionentheorie" holomorphen und meromorphe Funktionen auf offenen Mengen der komplexen Zahlenebene C sowie Abbildungen zwischen diesen studiert, betrachten wir in der Vorlesung „Riemannsche Flächen“ Räume, die lokal, aber nicht unbedingt global, zu offenen Mengen in C isomorph sind. Ein nicht-triviales Beispiel kennen Sie bereits: die Riemannsche Zahlensphäre C hut. Aufbauend auf die grundlegende Theorie, die mit einer Reihe von weiteren Beispielen illustieren, werden wir anhand von klassischen Fragestellungen Methoden der modernen komplexen Geometrie wie Garbenkohomologie einführen. Mit Hilfe dieser Methoden zeigt man zum Beispiel, dass auf jeder kompakten Riemannschen Fläche genug meromorphe Funktionen existieren, um die Fläche in einen projektiven Raum einzubetten, wo sie durch endlich viele homogene polynomiale Gleichungen gegeben ist; damit stellt man einen Zusammenhang zur Theorie der algebraischen Kurven her, mit deren Grundlagen wir uns ebenfalls im Rahmen der Vorlesung beschäftigen werden.
Die Vorlesung richtet sich an alle, die an komplexer Geometrie (ob analytisch oder algebraisch) interessiert sind und kann als Einstieg in eine Spezialisierung in Komplexer oder Algebraischer Geometrie dienen. Sie schließt an die Vorlesung "Funktionentheorie" aus dem Sommersemester an; wesentliche Aussagen dieser Vorlesung werden vor Verwendung kurz wiederholt werden.
Literatur:
Simon Donaldson: Riemann Surfaces, Oxford University Press
Otto Forster: Riemann Surfaces, Springer(auch in deutscher Sprache: Riemannsche Flächen, Heidelberger Taschenbücher, Springer)
Freitag/Busam: Funktionentheorie 1/2, Springer
Rick Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces, American Mathematical Society
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Bemerkung |
im Rahmen der neuen PO wird das Modul zu einem Erweiterungsmodul.
Offiziell darf Präsenzlehre im Wintersemester nur in Ausnahmefällen stattfinden, darum ist es vorerst geplant diese Veranstaltung vollständig live via Zoom zu streamen, wobei die verwendeten Tools bei Bedarf noch gewechselt werden können. (Im Falle, dass Präsenzlehre wieder allgemein erlaubt wird, werden wir wieder darauf umsteigen.)
Vorlesungen und Übungen werden auf Englisch stattfinden. |