Inhalte: Theorie und Anwendungen gewöhnlicher Differentialgleichungen
Zahlreiche Anwendungsprobleme in den Naturwissenschaften, etwa in der Physik, Chemie, Biologie, Medizin, aber auch in den Wirtschafts- und Gesellschaftswissenschaften können durch gewöhnliche (resp., allgemeiner, durch sog. partielle Differentialgleichungen) beschrieben werden.
Dies trifft allgemein auf Systeme zu, in denen man für eine von der Zeit abhängige Größe (z. B. eine Populationsgröße, o.ä.) annähernd beschreiben kann, wie sich die entsprechende Größe in Abhängigkeit von gewissen (geschätzten, bzw. empirisch beobachteten) Parametern verändert.
In unserem Seminar wollen wir uns sowohl mit der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen (DGL)
als auch mit deren Anwendung beschäftigen.
In der einfachsten Form erhalten wir eine gewöhnliche skalare DGL in expliziter Form von erster Ordnung vom Typ y‘(t) =f(t,y(t)) (plus, eventuell, einer vorgeschriebenen Anfangsbedingung y(t_0) =y_0).
Die Modellierung kann aber auch auf Systeme von gewöhnlichen DGL höherer Ordnung führen.
Ziel des Seminars ist es, explizite und nicht-explizite Lösungsmethoden für entsprechende DGL und deren zugehörige Anfangswertprobleme kennenzulernen und insbesondere auch das Langzeitverhalten von Lösungen entsprechender Probleme zu studieren, da dies insbes. im Hinblick auf die Anwendung (etwa: Modellierung von Populationswachstum, Krankheitsausbreitung etc.) eine besondere Rolle spielt.
Je nach Interessen der Teilnehmer*innen wird ein größerer Fokus auf die Theorie oder die Modellierung gelegt werden.
Theoretische Aspekte: allgemeine DGL (auch höherer Ordnung und implizit), Satz von Peano, Satz von Picard-Lindelöf, explizite Lösungsmethoden, exakte DGL, autonome Systeme, lineare Systeme, Stabilitätstheorie
Modellierung: Eis- und Warmzeiten, Stabilität des Golfstroms, mikroskopisches Verkehrsflussmodell, allgemeine nichtlineare Populationsmodelle (Räuber-Beute, kooperativ, konkurrierend…), Infektionsmodelle (Epidemien, Endemien, …) |
