Inhalt: Fourier-Analysis
Teil 1: Fourierreihen
In der Vorlesung Analysis I hat man die (lokale) Approximation von genügend glatten Funktionen durch sogenannte Taylorpolynome studiert und untersucht, wann eine unendlich oft differenzierbare Funktion durch ihre Taylorreihe dargestellt werden kann.
Für eine periodische Funktion f (eine sog. „Schwingung“) ist es naheliegend zu untersuchen, ob diese nicht besser durch sog. trigonometrische Polynome, die aus sinus- und cosinus-Funktionen (den sog. „elementaren Schwingungen“) zusammengesetzt ist, approximiert werden können, und ob eine formal mit f assoziierte unendliche trigonometrische Reihe gegen f konvergiert.
Diese und weitere Fragen wollen wir im Rahmen des Seminars untersuchen und zudem Anwendungen der Fourierreihenentwicklung aufzeigen.
Teil 2: Fouriertransformation
Die Fouriertransformation ist eine Integraltransformation, die auf nicht periodische integrable Funktionen auf $\mathbb{R}$ angewendet werden kann und die in zahlreichen Bereichen der Naturwissenschaften (Akustik, Optik, Astrophysik, Signalverarbeitung etc.) Anwendung findet, die aber auch innermathematisch von großer Bedeutung ist (im Bereich der Funktionalanalysis, der harmonischen Analysis, der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen etc.).
Im Rahmen des Seminars sollen die grundlegenden Eigenschaften der Fouriertransformation (sowie ihrer Rücktransformation) in verschiedenen Funktionenräumen untersucht sowie einige Anwendungsmöglichkeiten dieser Transformation aufgezeigt werden.
Für den ersten Teil sind Kenntnisse aus Analysis I und II erforderlich, für den zweiten Teil zusätzlich Kenntnisse aus Analysis III (insbes. Lebesgue’sche Integrationstheorie).
|
